NOTIONS SUR LES ASSERVISSEMENTS

Les systèmes asservis représentent une classe particulière de systèmes de commande. Ils se caractérisent par leur principe de fonctionnement basé sur une boucle qui se ferme sur une comparaison entre la valeur souhaitée et la valeur réelle.

L'étude des systèmes asservis se conduit d'une manière particulière. Il ne convient pas d'isoler la partie commande de la partie opérative mais plutôt d'étudier globalement le comportement de la chaîne fonctionnelle (PO + PC).

Les systèmes étudiés sont monovariables, c'est-à-dire qu'ils ont pour but d'asservir (de commander) une seule grandeur appelée sortie.

Cette grandeur dépend de l'évolution d'un grand nombre de variables du système :

on appelle entrée celle qui permet à l'utilisateur de fixer volontairement la sortie ;

on regroupe sous le terme perturbations l'ensemble des autres variables qui font évoluer la sortie même si l'entrée reste constante.

I Schéma de principe d'un système asservi :

a ) Définition :

On appelle système asservi ou asservissement un système bouclé présentant une amplification de puissance dans la chaîne directe.

L'outil de description fonctionnelle des systèmes asservis est le schéma bloc.

Sur le schéma fonctionnel on peut remarquer :

le système est bouclé. On voit apparaître un nouvel élément : le comparateur qui est le fondement du fonctionnement de cette boucle. En effet le principe de comportement de ce type de système est de détecter l'écart entre la consigne (ce que l'on souhaite) et la sortie (ce qui est, ramenée à l'entrée par la chaîne de retour) puis amplifier cet écart (par la chaîne directe) et donc de modifier la sortie afin de réduire cet écart.

l'écart est une grandeur signée (positive, négative ou nulle). La commande de l'actionneur est égale à l'écart multiplié par le coefficient d'amplification de la chaîne directe (gain) : on parle alors de commande proportionnelle, par opposition à commande tout ou rien.

le bloc "fonction amplification" fait apparaître dans sa partie supérieure en pointillé une entrée "énergie de puissance". On ne la retrouve pas toujours sur le tracé des schémas blocs car cet aspect n'intervient pas dans les calculs qui sont menés à partir de ce schéma. Il est cependant intéressant de la mentionner lors des premières études de ce type de système car certains phénomènes réels sont difficiles à appréhender en faisant abstraction de la présence d'énergie dans ces systèmes.

comme la plupart des descriptions de systèmes automatisés, la notion de "point de vue" est très importante à prendre en compte. Le schéma bloc ci-dessus comprenant trois blocs fonctionnels et un comparateur peut très bien être considéré comme un seul bloc ayant comme grandeur d'entrée "consigne" et comme grandeur de sortie "sortie".

le schéma ci-dessus est général. Aussi, sur chaque lien apparaît un terme générique qu'il faut remplacer dans chaque application par la grandeur physique qui lui correspond.

b ) Comportement du système asservi :

En phase de spécification ou en phase de mesure des performances, l'étude des comportements d'un tel système pose un problème particulier de définition. En effet ce comportement dépend de la manière dont varie l'entrée du système, or on ne peut envisager de traiter tous les cas d'entrée possibles

c ) Réponse à des entrées types :

Dans le cas des systèmes asservis on distingue quatre entrées types qui permettent de définir les principaux critères quantitatifs de performances.

ENTRÉE ÉCHELON.

Deux paramètres apparaissent sur le graphe de sortie:

la précision représente l'écart statique (une fois le système stabilisé) entre la réponse attendue s₀ et la réponse réelle s(t) ; on peut la représenter en valeur absolue ou en valeur relative (% de s₀)

le temps de réponse à 5% qui permet de juger de la rapidité du système, il se mesure entre la date de départ et la date à partir de laquelle la réponse ne s'écarte plus d'une valeur supérieure à 5% de la valeur attendue.

Remarque : sur la figure, le cas représenté ne produit pas de dépassement, c'est-à-dire que la sortie s(t) ne dépasse jamais la valeur s₀ souhaitée. Il existe des systèmes qui présentent cette caractéristique ; le plus souvent afin d'améliorer la rapidité de la réponse (temps de réponse à 5% inférieur).

ENTRÉE IMPULSION.

Impulsion de hauteur e₀ et de largeur Dt.

Cet essai est représentatif des réponses à des perturbations brèves du fonctionnement du système : chocs, points durs, etc.

Bien que difficile à réaliser de manière pratique, cet essai permet d'introduire la notion importante de stabilité.

Les systèmes bouclés présentent en effet une caractéristique particulière : pour certaines configurations de réglage ils peuvent conduire à un comportement instable, c'est-à-dire à s'écarter brusquement et définitivement de leur position à la suite d'une légère perturbation.

Ce type de comportement est en fait très dangereux dans la pratique, il faut donc s'en affranchir de manière sûre.

D'une manière générale, plus le coefficient d'amplification de la chaîne directe (gain) est grand plus le danger d'instabilité est fort. On peut donc réduire sa valeur afin de s'éloigner de ce danger potentiel, mais ceci se fera au détriment d'autres performances.

ENTRÉE RAMPE : entrée continûment variable

Cet essai permet de valider la capacité du système à suivre une consigne variable, ce qui se rencontre fréquemment dans les systèmes mécaniques asservis : robots, machines à commande numérique, etc.

Le paramètre utilisé est l'erreur de suivi ou erreur de traînage ou de vitesse.

Il présente un grand intérêt pratique en termes de sécurité de fonctionnement par la présence d'un seuil d'erreur à ne pas dépasser qui se déclenche si le système a rencontré un obstacle au cours de son mouvement.

Réponse à une rampe

Remarque : cette erreur entre la valeur demandée à un instant et la valeur réelle ne peut s'annuler, car cela signifierait que le système connaît la variation future de l'entrée.

ENTRÉE SINUSOÏDALE : réponse d'un système à une entrée sinusoïdale de pulsation w

La réponse du système à une telle entrée est aussi sinusoïdale et de même période T, par contre l'amplitude de sortie s₀ est différente.

De plus, la sinusoïde de sortie est décalée (en retard par rapport à celle d'entrée conformément à la réponse à une rampe), on dit qu'elle est déphasée. Ce déphasage j est variable en fonction de la période du signal d'entrée.

Il est assez délicat de solliciter un système mécanique avec une entrée sinusoïdale, cependant les méthodes de calcul utilisant les réponses fréquentielles permettent d'étudier la stabilité et surtout les marges de stabilité d'un système (réserve de stabilité).

Réponse à une entrée

sinusoïdale

De plus ces méthodes fréquentielles sont très utilisées pour l'étude de systèmes asservis électriques : régulation de courant par exemple.

II Fonctions de correcteurs (PID) :

a ) Notion de correction :

Le comportement global d'un système asservi dépend de la nature des blocs présents dans la boucle, il est donc intéressant d'introduire dans cette boucle un bloc paramétré (comprenant des paramètres réglables) facile à réaliser, qui permette de modifier le comportement du système, on appelle classiquement ce bloc : "correcteur".

Dans le cas le plus simple, on place ce bloc de correction dans la chaîne directe, juste en sortie du comparateur pour les raisons suivantes :

à cet endroit de la boucle le niveau d'énergie des grandeurs est le plus bas, donc la consommation du bloc sera faible et de plus technologiquement il est plus facile à réaliser ;

dans le cas d'une réalisation programmée (commande numérique) ce bloc est réalisé par un programme dont les paramètres sont plus faciles à modifier.

b ) Critères de performances

1. STABILITÉ

Un système asservi pouvant présenter le danger d'être instable, la stabilité est une condition nécessaire de comportement.

Définition : un système est stable si, lorsqu'il est écarté d'une position d'équilibre par une cause passagère, il reprend sa position de départ quand cette cause disparaît.

2. PRÉCISION

La précision d'un système est une donnée de base de son comportement, elle peut être spécifiée dans le cahier des charges de celui-ci.

La précision statique peut se mesurer par la réponse du système à un échelon.

3. RAPIDITÉ

Ce critère peut s'avérer important pour les systèmes présentant une grande dynamique, c'est-à-dire ceux qui sont soumis à des variations brutales et continues de la consigne.

La rapidité, le plus souvent déterminée par le temps de réponse à 5%, peut se mesurer par la réponse du système à un échelon.

c ) Paramètres influants sur les performances

La figure montre la position du correcteur sur le schéma fonctionnel de l'asservissement. Trois paramètres principaux sont à positionner dans le correcteur le plus couramment employé : le correcteur PID.

Schéma fonctionnel d’un système asservi muni d’un correcteur dans la chaîne directe

1. P comme PROPORTIONNEL

Le paragraphe I a montré l'importance de la fonction amplification dans le fonctionnement des systèmes asservis, le réglage de la valeur de cette amplification dépend de l'adaptation technologique entre les constituants de commande et les actionneurs du système.

Le correcteur introduit un autre coefficient, généralement appelé KP. Cette variable permet d'ajuster la valeur du gain G de la chaîne directe. La relation entre ces différents coefficients d'amplification est donc : avec :

G = gain de la chaîne directe
A = amplification de puissance
KP = coefficient proportionnel du correcteur

L'influence d'une variation de KP - et donc l'influence d'une variation du gain de la chaîne directe - est essentielle sur les critères de performances définis ci-dessus.

Sur la figure ci-contre, on peut remarquer qu'une augmentation du gain est positive pour la rapidité (le temps de réponse diminue) et pour la précision (l'écart final diminue).

Malheureusement cette augmentation engendre un comportement plus " vif' du

Influence du gain sur la précision et la rapidité

système et peut donc conduire à des dépassements et même à un comportement instable. Le réglage des paramètres de correction est l'art du compromis.

Généralement, le réglage par le gain seul permet d'obtenir des résultats satisfaisants, si le comportement n'est pas acceptable, on peut faire intervenir d'autres paramètres.

2. D comme DÉRIVE

La commande de type proportionnelle ne tient pas compte du sens de variation de la grandeur à piloter. Or, on sent bien que pour une même valeur de l'écart la commande doit être différente si celui-ci est en train d'augmenter ou au contraire en train de baisser. Ce type de comportement est très naturel pour un humain : il s'agit de l'anticipation.

L'introduction de cette correction dérivée modifie les performances précédentes et donc les réglages de correcteur à plusieurs paramètres (PD) sont à pratiquer globalement.

3. I comme INTÉGRAL

Le troisième paramètre intervient essentiellement sur la précision.

Il est important de connaître les comportements réels des systèmes par l'analyse de la réalité et par la connaissance intuitive des relations de causalité entre les performances et les paramètres qui sont disponibles pour les faire varier.

d ) Rôle des actions correctrices

1. Action Proportionnelle:

en statique : réduit l'écart entre la consigne et la mesure

en dynamique : augmente la rapidité tant que le système n'oscille pas trop.

L'action proportionnelle permet de jouer sur la vitesse de réponse du procédé.

Plus le gain est élevé, plus la réponse s'accélère, plus l'erreur statique diminue (en proportionnel pur), mais plus la stabilité se dégrade.

Il faut trouver un bon compromis entre vitesse et stabilité.

Influence de l'action proportionnelle sur la réponse du processus à un échelon :

Remarque : ces réponses sont celles d'un processus instable. Pour un processus stable, l'erreur statique diminue quand KP augmente.

2. Action Intégrale :

en statique : entre la consigne et la mesure.

en dynamique : la rapidité et augmente l'instabilité.

L'action intégrale permet d'annuler l'erreur statique (écart entre la mesure et la consigne).

Plus l'action intégrale est élevée (Ti petit), plus la réponse s'accélère et plus la stabilité se dégrade.

Il faut également trouver un bon compromis entre vitesse et stabilité.

Rappel : Ti petit signifie une action intégrale élevée.

Influence de l'action intégrale sur la réponse du processus à un échelon :

3. Action Dérivée :

en statique : aucun effet

en dynamique : augmente la rapidité par un effet stabilisant (compense de petites constantes de temps).

L'action dérivée est anticipatrice. En effet, elle ajoute un terme qui tient compte de la vitesse de variation de l'écart, ce qui permet d'anticiper en accélérant la réponse du processus lorsque l'écart s'accroît et en le ralentissant lorsque l'écart diminue.

Plus l'action dérivée est élevée (Td grand), plus la réponse s'accélère.

Là encore il faut trouver un bon compromis entre vitesse et stabilité.

Influence de l'action dérivée sur la réponse du processus à un échelon :

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