1 Classification expérimentale des oscillateurs et propriétés
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1.1 Classification expérimentale des oscillateurs
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- Oscillateur libre non amorti.
L'oscillateur libre non amorti, quelle que soit sa nature particulière
(pendule simple, composé ou élastique, balancier de montre à ressort
spiral) est caractérisé par la constance de l'amplitude de ses mouvements
une fois qu'il a été lancé. De plus, la période des petites oscillations
ne dépend pas de l'amplitude des mouvements, mais seulement des caractéristiques
de l'oscillateur lui-même. On dit que ses petites oscillations sont
isochrones. L'oscillateur libre non amorti a une énergie mécanique constante
: il est conservatif.
- Oscillateur
libre amorti.
L'amplitude des oscillations s'atténue. La durée d'un aller-retour est
constante, mais n'a pas tout à fait la même valeur que la période des
oscillations de l'oscillateur libre non amorti. Cela est caractéristique
d'un oscillateur libre amorti. L'oscillateur libre amorti a une énergie
mécanique décroissante : il est dissipatif.
- Oscillateur
auto-entretenu.
On peut vérifier expérimentalement que la période de l'oscillateur auto-entretenu
s'identifie à celle, idéale, de l'oscillateur correspondant libre non
amorti qui n'existe que de façon temporaire.
- Oscillateur
forcé.
Pour un oscillateur forcé, en régime permanent, la période d'oscillation
ne dépend plus du tout des caractéristiques propres de l'oscillateur
(la masse m, la raideur k du ressort d'un pendule élastique). Elle est
imposée par l'action extérieure de l'excitateur.
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1.2 Propriétés caractéristiques des oscillations
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La fréquence d'oscillation f est égale au nombre d'allers et retours par
seconde. Elle est lié à la période T de l'oscillateur par la relation
:

avec f en Hz (Hertz) et T en s.
Ainsi, 1 Hz = 1s-1. Le stroboscope, le périodemètre et le fréquencemètre sont
des instruments usuels de détermination de la période d'un oscillateur.
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2 Oscillateurs mécaniques libres non amortis
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2.1 Le pendule simple
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Lors de l'oscillation d'un pendule simple, libre non amorti, il y a échange
entre l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie cinétique. La source
de ces deux énergies, appelée énergie mécanique, se conserve au cours
du temps.
Le mouvement du pendule simple dans le cas de petites oscillations peut être
interprété en terme de mouvement au fond d'une cuvette " d'énergie potentielle
".
L'équation différentielle réglant les petites oscillations d'un pendule simple
s'écrit :

( hors programme de TS )
avec q (en °) l'angle entre le pendule et la verticale, t (en s) le temps,
g (en m.s-2) l'accélération de la pesanteur (g = 9, 81 m.s-2) et l (en
m) la longueur du pendule.
La solution de cette équation est sinusoïdale, de période :

On remarque bien l'isochronisme des petites oscillations (cf. 1).
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2.2 le pendule élastique horizontal
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Le pendule élastique horizontal, libre non amorti, est conservatif du point
de vue énergétique. Son énergie potentielle élastique et son énergie cinétique
s'échangent au cours du temps, mais la somme de ces énergies est invariable.
Lorsque l'énergie potentielle élastique est maximale, l'énergie cinétique
est minimale (et inversement).
L'équation différentielle réglant les oscillations du pendule élastique est
:

avec x (en m) la position du pendule, t (en s) le temps, k la raideur du
ressort et m (en kg) la masse accrochée au ressort.
La solution de cette équation est sinusoïdale, de période :

On remarque aussi l'isochronisme des petites oscillations (cf. 1).
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3 Oscillateurs mécaniques forcés
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3.1 Le pendule de torsion en oscillations forcées
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Un oscillateur amorti peut être " forcé " de façon sinusoïdale par un excitateur
extérieur, à la fréquence f. Après un premier épisode transitoire, souvent
complexe à analyser, l'oscillateur se place en régime sinusoïdal permanent,
oscillant à la même pulsation que l'excitateur.
La grandeur
oscillante et l'excitation sont alors déphasées l'une par rapport à l'autre.
De plus, l'amplitude des oscillations en régime permanent dépend de la
pulsation du signal délivré par l'excitateur. L'expression de l'amplitude
de la grandeur oscillante, en régime sinusoïdal permanent, en fonction
de la pulsation w du signal excitateur détermine la " réponse en fréquence
" de l'oscillation forcée.
La courbe A(w) ou A(f), avec w = 2pf, définit l'éventuelle " résonance
" de l'oscillateur. De même, le déphasage j de la grandeur oscillante
par rapport à l'excitation dépend de w. j(w) constitue la réponse de phase
en fréquence.
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3.2 Le phénomène de résonance en amplitude d'élongation
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Il est lié à l'amortissement de l'oscillateur. L'amortissement peut être si
fort que l'amortissement disparaît. A contrario, la résonance en vitesse
(dérivée de la grandeur oscillante par rapport au temps) a toujours lieu,
quel que soit l'amortissement, à la pulsation d'excitation égale à celle
propre de l'oscillateur. Lorsque l'amplitude des oscillations est maximale,
A vaut Ar = A(wr). On dit qu'on est à la résonance en élongation (c'est
de la grandeur oscillante q(t) qu'il s'agit). Ar est l'amplitude de l'élongation
à la résonance. wr est appelée pulsation de résonance et fréquence de
résonance. |