LES GRANDEURS SINUSOÏDALES

I DéNITIONS: 2

II CARACTéRISTIQUES D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE : 2

III CHRONOGRAMMES D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE : 2

IV DEPHASAGE ENTRE DEUX GRANDEURS SINUSOÏDALES : 3

V DETERMINATION DU DEPHASAGE A PARTIR DES CHRONOGRAMMES ; 3

VI VECTEUR DE FRESNEL D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE : 4

VII INTERET DU VECTEUR DE FRESNEL : 5

VIII DETERMINATION DU DEPHASAGE A PARTIR DES VECTEURS DE FRESNEL : 5

IX NOMBRE COMPLEXE ASSOCIE A UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE : 5

X DETERMINATION DU DEPHASAGE A PARTIR DES NOMBRES COMPLEXES ASSOCIES AUX GRANDEURS SINUSOÏDALES / 6

I DéNITIONS:

Les grandeurs sinusoïdales sont des grandeurs périodiques particulières dont l’étude est importante en électronique et en électrotechnique. Par ailleurs, les tensions électriques délivrées par le réseau d’EDF sont elles-mêmes sinusoïdales

Ø Une tension sinusoïdale est telle que : u (t) = Û sin (w t + j)

Ø Un e intensité sinusoïdale : i (t) = Î sin (w t + j)

Avec u_(t) = valeur instantanée de la tension U

Û valeur maximale de la tension u

Î valeur maximale de l’intensité i

w : = pulsation (en rad^-1) de la tension u

j : = phase à l’origine (en rad) de la tension u,

(w t + j) = phase (en rad^-1) de la tension u.

II CARACTéRISTIQUES D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE :

Ø La période : T (en s)

Ø La fréquence : f en Hz (Hertz)

Ø La pulsation : w (en rad^-1) :

Ø La valeur efficace :

Ø La valeur moyenne :

III CHRONOGRAMME D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE :

IV DEPHASAGE ENTRE DEUX GRANDEURS SINUSOÏDALES :

Le déphasage de u par rapport à i est : tel que

Avec

REMARQUE : Si est positif : u est en avance sur i

Si est négatif : u est en retard sur i

V DETERMINATION DU DEPHASAGE A PARTIR DES CHRONOGRAMMES ;

t s’appelle le décalage horaire. Il s’agit du décalage temporel entre 2 courbes (entre 2 valeurs maximales, entre 2 passages à zéro, …) Il est exprimé en secondes.

Valeur absolue du déphasage :

Signe du déphasage :

On cherche le passage à zéro par valeurs croissantes d’une des sinusoïdes

Ø Si à cet instant, l’autre sinusoïde est +, elle est en avance sur la première

Ø Si elle est négative, elle est en retard sur la première.

Dans notre exemple i est en retard sur u, ce qui fait que

CAS PARTICULIERS :

U et i en phase :

u et i en opposition de phase :

VI VECTEUR DE FRESNEL D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE :

La norme du vecteur de Fresnel de la tension u est égale à la valeur efficace U de la tension u

VII INTERET DU VECTEUR DE FRESNEL :

Si la tension W est définie par W = u+v alors le vecteur de Fresnel de W est défini par

On peut ainsi déterminer la valeur efficace w et la phase à l’origine sur le diagramme de Fresnel.

REMARQUE : Les opérations (addition, soustraction) avec les vecteurs de Fresnel ne sont possible que lorsque les grandeurs sinusoïdales ont toutes la même fréquence.

VIII DETERMINATION DU DEPHASAGE A PARTIR DES VECTEURS DE FRESNEL :

Le déphasage u par rapport à v est l’angle orienté du vecteur de Fresnel de v vers le vecteur d Fresnel de u.

IX NOMBRE COMPLEXE ASSOCIE A UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE :

U est le nombre complexe de module égales à U et d’argument égal à

avec

X DETERMINATION DU DEPHASAGE A PARTIR DES NOMBRES COMPLEXES ASSOCIES AUX GRANDEURS SINUSOÏDALES /

Le déphasage de u par rapport à v est défini par.